Marches aléatoires sur les groupes

Parmi les manières de comprendre les groupes (dénombrables, de type fini), une méthode instructive est de lancer une marche au hasard sur le groupe : les propriétés asymptotiques de la marche en disent beaucoup sur la géométrie du groupe, et sur sa structure algébrique. Par exemple, la manière qu'a la marche de tendre vers l'infini est significative, et permet de construire des compactifications naturelles du groupe. Je m’intéresserai principalement à un événement exceptionnel, la probabilité de retour à l’origine au temps n. Dans de larges classes de groupes, elle est exponentiellement petite, mais on peut parfois être plus précis : il apparaît une correction polynomiale conjecturalement liée à certaines caractéristiques géométriques du groupe. Je décrirai précisément ce qui se passe lorsque le groupe est le groupe fondamental d’une surface, ou plus généralement un groupe hyperbolique