Mouvement brownien réfléchi et équations aux q-différences

Je présenterai des travaux sur le mouvement brownien réfléchi en dimension 2. Introduite dans les années 1980 notamment par Harrison, Varadhan, Williams, cette diffusion est au cœur de nombreux problèmes probabilistes. Malgré tout l'intérêt que ce processus aléatoire a suscité pendant ces quarante dernières années, peu de résultats existaient sur sa distribution d'équilibre (lorsqu'elle existe), à l'exception de quelques cas où, de façon remarquable, la densité associée est une somme d'exponentielles, comme la fameuse skew symmetry. Dans cet exposé, je m'intéresserai à caractériser géométriquement les paramètres du modèle pour lesquels la distribution stationnaire est plus simple qu'attendu (en un certain sens que je préciserai). Dans ces cas, nous produisons une formule effective pour la densité. D'un point de vue technique, notre approche mélange calcul stochastique et équations fonctionnelles, en particulier les équations aux q-différences. Il s'agit d'un travail commun avec Mireille Bousquet-Mélou, Andrew Elvey Price, Sandro Franceschi et Charlotte Hardouin ; le preprint se trouve à l'adresse https://arxiv.org/abs/2101.01562.