Séminaire des doctorants (archives)

Poisson processes provide a basic model for describing events occurring over time, when these events do not interact with each other, such as phone calls or customer arrivals. This model becomes less suitable when past events influence the probability of appearance of future events, as in the case of earthquake aftershocks or neuronal interactions. Hawkes processes provide a natural framework for modeling such temporal dependencies, in particular through self-excitation.

In this talk, we will first introduce Poisson processes and then Hawkes processes, before focusing on statistical inference, i.e. parameter estimation from observed data. We will also discuss model comparison to decide which model is better suited to the data.

Finally, we will discuss some extensions allowing for more complex temporal interactions, such as inhibition or memory of variable length, and present an application to real neuronal data.

In finite-dimensional quantum mechanics, density matrices provide the most general mathematical description of a quantum physical system. One of the fundamental postulates of quantum mechanics states that the time evolution of a single closed quantum system is unitary.

What happens when we consider composite systems consisting of multiple particles, or when the system is not isolated and can interact with its environment? The most general (physically relevant) evolutions of quantum systems are described by a particular class of linear maps called completely positive trace-preserving maps (also known as quantum channels).

The aim of this talk is to motivate and introduce the concept of completely positive trace-preserving maps, and eventually explore their real counterpart, and discuss some open problems such as the PPT-squared conjecture.

Les flots de Reeb forment une classe très générale de flots sur des espaces de dimension impaire, qui généralise les flots hamiltoniens de la mécanique classique. Leur étude systématique depuis les années 1970 cherche à répondre à différentes questions sur leur dynamique, par exemple concernant l'existence et le nombre de trajectoires périodiques du système.

Une façon d'aborder ces problèmes en dimension 3 est d'utiliser la notion de surface de Birkhoff. De tels objets permettent de ramener l'étude du flot à celle de la dynamique, plus simple, des transformations des surfaces en dimension 2. Une manière d'obtenir une telle surface de Birkhoff pour les flots de Reeb est de chercher une décomposition en livre ouvert de l'espace ambiant.

Le but de cet exposé est de présenter ces techniques à travers des exemples simples de flots de Reeb et de décompositions en livres ouverts en dimension 3. On donnera aussi quelques éléments sur la classification des difféomorphismes de surfaces, et sur ses conséquences sur la dynamique des flots de Reeb.

Le théorème de Pick permet de lier l'aire d'un polygone et les points entiers de celui-ci. Je vous propose de découvrir ensemble ce qui se passe en plus grandes dimensions: comment compter les points entiers des polytopes et que peuvent-ils nous dire? La réponse à ces questions initiée par Erhrart est riche et intersecte de nombreux domaines des mathématiques. On verra notamment la définition du vecteur h-étoile qui est un invariant numérique puissant des polytopes entiers. Selon le temps on essayera de faire des applications aux carrés magiques et au nombre de McNuggets™.

Des réseaux de neurones résiduels aux modèles génératifs basés sur les flots, les champs vectoriels et leur flot jouent un rôle central dans les méthodes modernes de Machine Learning. Bien que plusieurs extensions de ces méthodes aux variétés riemanniennes aient été proposées à ce jour, la question de la définition de ces champs de vecteurs sur de tels espaces a été en grande partie négligée, les approches existantes s'appuyant en général sur des solutions alternatives dont l'interprétation géométrique est limitée. Inspirés par la formulation hyperbolique des réseaux résiduels riemanniens, nous proposons une construction intrinsèque de champs de vecteurs paramétrisables applicable à un large éventail d'espaces, comprenant notamment les variétés de Cartan-Hadamard. Notre approche repose sur la fonction de Busemann et tire parti de ses propriétés géométriques favorables. Nous démontrons la pertinence et la flexibilité du cadre proposé à travers des expériences numériques sur différentes tâches dans l'espace hyperbolique et les variétés de matrices symétriques définies positives.

L’apprentissage profond est aujourd’hui devenu un outil central en observation de la Terre, permettant d’exploiter la quantité massive d’images satellites disponibles pour résoudre des tâches complexes comme la classification des cultures agricoles, la prédiction de feux de forêts ou la détection de glissements de terrain. Cependant, ces données sont aussi très hétérogènes: diversité des capteurs satellites, différences géographiques, variations saisonnières et conditions d’acquisition hétérogènes rendent les modèles difficiles à généraliser et à rendre robustes dans des conditions réelles. Dans ce contexte, les modèles génératifs ouvrent de nouvelles perspectives en observation de la Terre, notamment pour l’adaptation de domaine et la traduction entre modalités, afin de mieux gérer l’hétérogénéité des données satellitaires et d’améliorer la robustesse des modèles. Dans cette présentation, nous aborderons ces enjeux, et le Flow Matching, une formulation des modèles génératifs très établie dans la littérature, avant de présenter A²BM, une méthode de traduction d’images exploitant l’alignement entre observations afin d’améliorer la qualité des traductions.

In this talk, we survey several kinetic models for plasma dynamics, ultimately focusing on the Vlasov-HMF (Hamiltonian Mean-Field) model. After a brief historical context, we move from the Hamiltonian dynamics of finite N-particle systems to the infinite particle system via the mean field lim. We introduce mathematical tools: Fourier series, linearization, action-angle variables, and the phase-mixing mechanism. These tools reveal how Landau damping, a return to equilibrium in plasma dynamics, emerges at the linear level. Time permitting, I will explain how this linear picture can be extended to a nonlinear stability result (decay for small perturbations) through a bootstrap argument. The emphasis is on building intuition rather than on technical detail, and the talk is designed to be accessible to all PhD students.

Les mouvements collectifs auto-organisés émergent dans la nature sous forme de nuées d'oiseaux ou de bancs de poissons par exemple. Pour les modéliser, on peut utiliser une approche microscopique, comme le modèle de Vicsek. Or, pour de larges populations, cette approche est très coûteuse à simuler. Pour palier à cela, nous étudierons ici la limite macroscopique du modèle de Vicsek, nommé modèle SOH. Ce modèle est hyperbolique et non-conservatif, ce qui pose problème pour la résolution du problème de Riemann, analytiquement et numériquement. Dans cet exposé, nous commencerons par étudier la structure hyperbolique du système SOH et sur les ondes de détente. Nous définirons ensuite les ondes de chocs grâce au modèle visqueux associé au modèle SOH. De plus, nous dériverons un schéma type Godunov pour le modèle SOH. Comme ce schéma ne converge pas vers la bonne solution, une correction visqueuse est ajoutée afin de récupérer numériquement les solutions ondes de chocs. Enfin, le schéma est testé sur des cas tests afin d'en confirmer la pertinence.

Les coefficients dans le développement en série entière de 1/(1-t)^n correspondent aux dimensions des espaces de polynômes homogènes en n variables. Ce phénomène combinatoire reflète la dualité de Koszul entre l'algèbre symétrique S(V) et l'algèbre extérieure Λ(V) engendrées par un espace vectoriel V de dimension n.

Cette dualité, est à la base d'un complexe appelé résolution de Koszul par Priddy à la fin des années 60'. Le cas de l'algèbre symétrique permet de calculer la résolution de Koszul de l'algèbre enveloppante d'une algèbre de Lie, correspondant alors au complexe de Chevalley-Eilenberg.