L'analyse réelle dans le cadre non-euclidien comme par exemple les groupes de Lie, les variétés (sous-) riemanniennes, les graphes, les fractals ou plus généralement dans des espaces métriques a connu des développements spectaculaires ces dernières années. En même temps des avancées remarquables ont été faites sur l'analyse des opérateurs elliptiques à coefficients non-réguliers. Dans ces sujets, les propriétés du noyau de la chaleur associé à l'opérateur en question agissant sur les fonctions ou sur les formes différentielles (opérateur de Hodge-de Rham) jouent un rôle de premier plan. D'autre part, il est indispensable de bien comprendre les aspects géométriques lorsqu'on travaille dans le cadre non-euclidien. Pour plusieurs problèmes importants, l'analyse et la géométrie
sont indissociables et il est indispensable d'avoir une maîtrise de deux aspects pour attaquer ces problèmes. Le but de ce projet ANR est de réunir des experts reconnus ainsi que des jeunes chercheurs dans chacun de ces deux domaines. Nous allons attaquer divers problèmes à l'interface de la géométrie et l'analyse et nous développerons des connections entre ces deux directions de recherche. Nous étudierons les noyaux de la chaleur sur des variétés ainsi que leur gradient (en espace), les noyaux de la chaleur sur les 1-formes différentielles, les transformées de Riesz sur L^p, les algèbres de Sobolev et de Besov dans le contexte d'estimations sous-gaussiènnes du noyau de la chaleur, le noyau de la chaleur et inégalités fonctionnelles en géométrie sous-riemannienne (le groupe de Heisenberg par exemple), les estimations spectrales d'opérateurs de Schrödinger, l'analyse bi-(ou multi) paramètres et paraproduit, multiplicateurs spectraux à la Hörmander, équations et systèmes paraboliques, régularité maximales des équations d'évolution non-autonomes... Ces sujets sont à l'interface de l'analyse réelle et la géométrie.