Examen de Janvier 2000-LMA-MM1

Exercice 1. Etant donné la déclaration suivante :

        type machine
           integer              :: numero
           character (len =20)  :: marque
           real, dimension(4)   :: serie
        end type machine
        type (machine), dimension(19) :: TM

1. Donnez la nature de ces objets :

           TM     , TM(13)  , TM(1)%serie ,   TM(4)%serie(3)
           TM(5:6), TM(13)%marque , TM(19)%numero, TM(10)%marque(4:10) 
       

2. Donner dans chaque cas un exemple d'affectation de ces objets.

Exercice 2. Soient les déclarations suivantes :

          real, dimension (5) , target  :: x
          real, dimension(3,2), target  :: A
          real, dimension (:) , pointer :: p

1. Que font les instructions suivantes

             maxval(abs(x)) ;  maxloc(abs(A))
             sum(abs(x))    ;  sqrt(sum(x*x))
   

2. Effectuer les 'print' suivants :

          x = (/ 1.1, 2.2, 3.3, 4.4 , 5.5 /)
          print*,(' x(',i,') = ', x(i), i = 1,5)
   
          A(:,1) = (/1.1, 2.2, 3.3 /)
          A(:,2) = (/4.4 , 5.5, 6.6 /)
          print*,((' A(',i,',',j,') = ', A(i,j), j = 1,2),i=1,3)
   
          p => x(2:3)
          p = (/ 7.7, 8.8 /)
          print*,'px = ', p  ; print*,'x =',x
   
          p => A(:,2)
          p = (/ -7., -8., -9. /)
          print*,'A = ', A
   

Exercice 3. On considère le type suivant

      type cercle
          real, dimension(2) :: centre
          real               :: rayon
      end type cercle
      type (cercle) :: C , C1 , C2

On souhaite definir :

- la somme de deux cercles comme étant un cercle de centre la somme des deux centres et de rayon la somme des deux rayons

- la somme d'un cercle et d'un réel comme étant un cercle de même centre et de rayon la somme du rayon et du réel.

Ecrire alors une 'interface operator (+)' qui permet de supporter les opérations suivantes

 
      C = C1 + C2
      C = C1 + 2.

Avec cette interface l'instruction $C = 3.4 + C1$ est-elle valide? pourquoi?

Exercice 4. Soit $A$ une matrice symétrique creuse telle que $(A(i,j) = 0$ pour $j \ne i,i\mp 1,i\mp 2)$. On stocke alors uniquement la partie supérieure de la matrice sous la forme

           real(kind = 8), dimension(n,3) :: A

et on désigne par

A(i,1)	la diagonale	(A(i,i), i=1,n )
A(i,2)	la sur-diagonale	(A(i,i+1), i=1,n-1 )
A(i,3)	la sur-sur-diagonale	(A(i,i+2), i=1,n-2)

1. Ecrire une fonction ( nommée mv(A,x)) qui effectue le produit de la matrice A par un vecteur x ( notez que seul $A$ et $x$ sont transmis en arguments).
2. Ecrire une 'interface operator(*)' permettant de rendre l'opération $A*x$ possible.
3. Pour résoudre le système linéaire $Ax =b$ , on considère l'algorithme suivant :
   $$\left\{ \begin{tabular}{l} $x_0, r_0 =p_0= b-Ax_0$\\ pour k= 0,... ..._k\Vert^2_2}$ \\ $p_{k+1} = r_{k+1} +\beta_{k+1}p_k$ \end{tabular} \right .$$
   avec $(\cdot,\cdot)$ désigne le produit scalaire euclidien et $\Vert \cdot \Vert^2_2 = (\cdot,\cdot)$.

   Ecrire un programme qui produit cet algorithme.