Séminaire d'analyse (archives)

Toeplitz matrices represent a wide range of non-selfadjoint matrices that have been widely studied in the past. These matrices are associated with functions, which are called symbols. Although having a particular structure, their lack of self-adjointness causes a strong spectral instability. Under some assumptions, the addition of random noise gives a "regularization of the spectrum", i.e., an equidistribution of the eigenvalues of the perturbed matrix in the numerical range of its symbol. In this talk, I will give a generalized construction of Toeplitz matrices associated with rough symbols (especially by the presence of jumps), and for which this phenomenon still holds. The analysis of the spectrum of these matrices will be done through their empirical spectral measure, and their study is based on semiclassical analysis tools.

I will report on recent advances concerning the computation of spectra of non-selfadjoint semiclassical 1D (pseudo)differential or Toeplitz operators with exponentially small errors. The general idea, based on the well-known Bohr-Sommerfeld rule in the selfadjoint case, is to use a bit of geometry to analyse classical Hamiltonians in the complexified phase space. At the quantum level, this leads to complex Fourier integral operators via Sjöstrand’s theory. I will present applications to non-selfadjoint perturbations of self-adjoint operators, and open questions related to the non-perturbative regime. A large part of the talk will be based on results by Duraffour and Reguer.

Partant d'une surface à courbure négative, Magee, Naud et Puder ont introduit un modèle discret de revêtements aléatoires de degré n de cette surface. Je parlerai de résultats concernant la première valeur propre non triviale d'un revêtement "typique", dans la limite des grands degrés. Travail en collaboration avec Will Hide et Frédéric Naud.

Après avoir introduit les résultats fondateurs de Sogge sur la norme L^p des projecteurs spectraux du Laplacien pour une variété riemannienne compacte, sur un intervalle de fréquence de taille $1$, je présenterai comment obtenir des améliorations sur des intervalles polynomialement fins explicites dans le cadre des surfaces quantiquement complètement intégrables, en particulier pour les surfaces de révolution et pour le disque euclidien, dans les deux régimes de concentration $p=4$ et $p = +\infty$. Cet exposé est partiellement issu de travaux avec Yves Colin de Verdière.

Dans cette présentation je présenterai des résultats récents sur la dynamique en temps long de l’équation de Schrödinger magnétique sur le tore plat en dimension 2. Bien que la dynamique classique associée soit complètement intégrable, la présence du champ magnétique produit un effet de régularisation et d’équidistribution. Plus précisément, sur des échelles de temps suffisamment grandes, les états quantiques se répartissent uniformément en position, puis, à des temps encore plus longs, uniformément le long des courbes d’énergie en variable d’impulsion. Ces résultats mettent en évidence une forme dynamique d’unique ergodicité quantique dans une situation où aucun phénomène chaotique n’est disponible.

We study the formation of extreme waves from a statistical viewpoint in the context of the pure gravity water wave equations in deep water. We quantify their probability under random Gaussian sea initial data up to the optimal timescales allowed by deterministic well-posedness theory. The proof shows that rogue waves most likely arise through "dispersive focusing", where phase synchronization produces constructive amplification of the water crest. The main difficulty in justifying this mechanism is propagating statistical information over such long timescales, which we overcome by combining normal forms and probabilistic methods. Unlike previous results, this new approach does not require approximate solutions to be Gaussian. Joint work with M. Berti, A. Maspero and G. Staffilani.

On s'intéresse à la solution d'une équation différentielle dirigée par un champs de vecteur lui-même perturbé par le mouvement d'une particule suivant la dynamique d'un gaz de Lorentz Z-périodique. Lorsqu'on accélère ce mouvement (et donc la dynamique du système) on peut montrer que la solution converge vers la solution d'une équation différentielle moyennée indépendante de la dynamique dans le gaz de Lorentz.

Dans cet exposé je présenterai la dynamique dans un gaz de Lorentz et établirai ce résultat sous la forme d'un Théorème limite. Enfin je donnerai une idée de la preuve qui repose sur la stabilité du théorème central limite fonctionnel vérifié par des sommes de Birkhoff sur le billard de Sinai et de la mesure de Lebesgue associée.

Cet exposé présente mes travaux récents sur l'équation de Benjamin–Ono. Ces travaux reposent sur l'extension et l'utilisation de formules explicites pour étudier la limite de zéro dispersion et établir un nouveau schéma numérique.

Premièrement, je présenterai les résultats sur l'extension de la formule explicite et son application à la limite de zéro dispersion. Nous avons étendu la formule explicite pour l'équation de Benjamin–Ono sur la droite aux données initiales à valeurs réelles et de carré intégrable. Cette avancée nous a permis d'étudier rigoureusement la limite de zéro dispersion pour des données initiales plus singulières.

Deuxièmement, je montrerai comment la formule explicite permet de développer un nouveau schéma numérique pour l'équation de Benjamin–Ono sur le cercle. Il s'agit d'un travail en collaboration avec Yvonne Alama Bronsard et Matthieu Dolbeault. Un point central de ce travail est que nous avons démontré rigoureusement la convergence de ce schéma. Ce schéma, exact en temps et spectral en espace, permet d'étudier efficacement la dynamique en temps long.

La dynamique linéaire s’intéresse à l’évolution à long terme des itérations d’un opérateur linéaire borné agissant sur un espace de Banach ou de Fréchet. Malgré la simplicité apparente du cadre linéaire, ce type de systèmes peut présenter des comportements très riches, voire inattendus. Un résultat important en ce sens est le critère de Godefroy–Shapiro, qui relie l’abondance de vecteurs propres à l’existence d’orbites denses. Dans cet exposé, je me concentrerai sur les opérateurs de Toeplitz sur l’espace de Hardy et expliquerai comment leur comportement dynamique est rélié à des propriétés géométriques de leur symbole.

In this talk, I will present a new result about small-time local controllability near the ground state for a bilinear Schrödinger equation with Neumann boundary conditions, for which the linearized system is not controllable. I will prove that a Lie bracket–type condition ensures that either the nonlinear system exhibits a quadratic obstruction or, remarkably, recovers controllability at the quadratic order. This is a joint work with Karine Beauchard and Frédéric Marbach.