Je vais présenter un travail en collaboration avec Simon Machado (ETH Zürich) dans lequel nous prouvons une borne supérieure sur la multiplicité des premières valeurs propres du Laplacien sur une surface de courbure négative, en fonction de son genre. Notre méthode, qui repose sur des estimées du noyau de la chaleur et un argument géométrique provenant de la théorie des graphes, permet aussi de prouver une borne supérieure sur le nombre de valeurs propres dans une petite fenêtre spectrale, et cette dernière borne est quasiment optimale. Enfin, cette méthode s'étend aux variétés de dimension plus grande que 2.
Séminaire d'analyse (archives)
La théorie du chaos quantique vise à décrire les états de la mécanique quantique dans un environnement où la dynamique classique est chaotique. L'exemple phare est celui de l'opérateur Laplace-Beltrami sur une variété lisse hyperbolique compacte. Il est montré que la dynamique classique chaotique sous-jacente sur de telles variétés entraîne des propriétés de délocalisation pour la plupart des fonctions propre associées.
Le sujet de mon exposé sera les valeurs propres du laplacien magnétique dans un domaine borné du plan, pour un champ magnétique uniforme et des conditions au bord de Neumann. Nous nous intéresserons en particulier à l'inégalité de Faber-Krahn inverse conjecturée par Søren Fournais et Bernard Helffer , selon laquelle parmi tous les domaines simplement connexes d'aire donnée, le disque maximise la première valeur propre. Nous verrons que l'inégalité est vérifiée pour un champ magnétique suffisamment faible (tel que la fonction propre correspondante sur le disque soit radiale). Ces résultats ont été obtenus en collaboration avec Bruno Colbois, Luigi Provenzano et Alessandro Savo.
In this talk, I will present a construction of arbitrarily decaying initial data for the stability of Minkowski spacetime as solutions to the Einstein equations. Initial data on a spacelike hypersurface need to solve the so-called constraint equations, i.e a geometric nonlinear underdetermined elliptic system. I will show how one can parametrize solutions in a neighborhood of Minkowski spacetime and address linear obstructions coming from conservation laws in general relativity. This is a joint work with Allen Juntao Fang and Jérémie Szeftel.
Nous commencerons par rappeler l'origine du système de réaction-diffusion " SKT " et les défis à ce jour non résolus concernant celui-ci. L'exposé abordera ensuite un schéma d'approxipation proposé en 2019 par Daus, Desvillettes et Dietert pour construire des solutions. Nous expliquerons comment ce schéma peut, à l'aide d'une estimation de stabilité locale sur le système, conduire à un résultat partiel de dérivation reliant le système SKT à une famille de marches aléatoires répulsives sur un réseau discret. Il s'agit d'un travail en collaboration avec Vincent Bansaye et Felipe Muñoz-Hernández.
Pour une particule sans spin $\hat{H}=-\frac{\hbar^2}{2m}\triangle + V$ et ${\mathcal H}= L^2(\mathbb{R}^3)$.
En présence d'un spin $\sf{s}\in{\mathbb N}/2$ l'espace de Hilbert devient ${\mathcal H}= L^2(\mathbb{R}^3,\mathbb{C}^{2\sf{s}+1})$ et l'hamiltonien devient matriciel
$$ \hat{H}_{2\sf{s}+1} = ( -\frac{\hbar^2}{2m}\triangle + V)\mathbb I_{\mathbb{C}^{2\sf{s}+1}} + \hbar\hat{C}\cdot S.$$
Used by the work of Koch-Tataru on Navier-Stokes equations, the theory of tent spaces turns out to be useful to deal with evolution equations with very rough initial data. In this talk, we shall discuss the recent progress on studying linear parabolic equations with time-independent, uniformly elliptic, bounded measurable complex coefficients via tent spaces. The talk is based on a joint work with Pascal Auscher.
L’équation de Helmholtz, décrivant les ondes dans un régime stationnaire, est très couteuse à résoudre numériquement lorsque la fréquence est élevée. En effet, dans la plupart des approches numériques (comme celle des éléments finis), le nombre de degrés de liberté augmente rapidement avec la fréquence. Nous verrons comment des considérations d’analyse harmonique et d’analyse semiclassique permettent de réduire grandement ce nombre de degrés de liberté. Il s’agit d’un travail en commun avec Théophile Chaumont-Frelet et Victorita Dolean.