Séminaire de géométrie (archives)

Boundaries of hyperbolic groups can tell you a great deal about the group. For instance, one can show two groups are not quasi-isometric by showing their boundaries are not homeomorphic. Paulin showed that under the right conditions you can show that two groups with homeomorphic boundaries are quasi-isometric. By restricting to rays satisfying the Morse property, one can define an analogous boundary for more general groups. Inspired by the theorem of Paulin, we give precise conditions for when a homeomorphism between the Morse boundaries of two groups is induced by a quasi-isometry of the groups themselves. This is joint work with Ruth Charney and Devin Murray.

Dans le contexte des graphes connexes, localement finis et pondérés, nous introduisons la notion de face triangle orientée. Cette structure de 2-complexe simplicial permet de définir notre Laplacien discret qui agit sur les triplets de fonctions, 1-formes et 2-formes. L'étude est portée d'abord sur la notion de X-complétude qui garantit le caractère essentiellement auto-adjoint du Laplacien. Par ailleurs, nous donnons une estimation du trou spectral du Laplacien des 1-formes pour la triangulation d'un graphe complet. Plus précisément, une majoration attachée à la généralisation de la constante de Cheeger et une minoration est obtenue par la première valeur propre non nulle du Laplacien agissant sur les fonctions de sous-graphes.

[merci au séminaire TGA pour l'accueil] Dans cet exposé, fondé sur un travail en cours avec David Calderbank, nous allons introduire une classe de métriques riemanniennes qui vérifient une condition analogue aux équations d’Einstein—Maxwell en relativité générale et je vais montrer comment elles sont liées aux métriques kahlériennes extrémales en sense de Calabi. Ce lien s’exprime en termes de la géométrie sasakienne, et comme application nous obtenons des nouvaux exemples de variétés extrémales de Sasaki, ainsi que de variétés de contacte de type sasakien polarisées n’admettant aucune structure de Sasaki extremale compatible.

Les variétés singulières apparaissent naturellement en géométrie quand on considère des quotients de variétés lisses, leurs limites de Gromov-Hausdorff ou des flots géométriques. Un question importante dans l’étude de ces variétés singulières consiste à définir des notions de courbure, et de bornes de courbure, pertinentes. Les travaux de Lott-Sturm-Villani et Ambrosio-Gigli-Savaré ont montré qu’on peut définir une condition de courbure-dimension sur des espaces métriques mesurés, qui correspond à une borne inférieure sur le tenseur de Ricci dans le cas des variétés lisses.

Nous avons calculé le groupe d'automorphismes (difféomorphismes feuilletés, et holomorphes entre les feuilles). Le calcul est fait par résoudre exactement une équation fonctionnelle sur la demi-droite fermée. L'équation est simple: le pull-back par un difféo contractant et considerer le problème de valeur propre sur les fonctions lisses sur la demi-droite. Ce type d'équation est connu comme l'équation de Schroeder. Il y a un cas delicat pour décrire la structure du groupe, concernant le problème no.5 de Hilbert. . L'équation est résolue par le théorème de variété centrale et aussi par l'expansion de Fourier avec la forme normale de Takens.

Comme l'équation de motion de fluide parfait sur la variete riemannienne compactes, l'équation d'Euler est dérive par Arnol'd comme un système completement integrable (mais de dimension infinie).

Les estimées de type Euclidiennes du noyau de la chaleur sur les variétés complètes non-compactes sont bien comprises, : elles sont essentiellement équivalentes a des inégalités de type isopérimétrique (par exemple l’inégalité de Sobolev) sur la variété.En ce qui concerne le gradient du noyau de la chaleur, des estimées de type Euclidiennes sont vraies sur les variétés à courbure de Ricci positive, mais peu est connu sous des hypothèses de courbure plus générales. Dans cet expose, nous présenterons des résultats récents concernant les estimées du gradient du noyau de la chaleur, sur des variétés ayant courbure de Ricci “presque” positive a l’infini.

In basic courses of mechanics a first approach to central forces and, in particular, to the gravitational force, is made through Newton’s laws and the expression of the Newtonian gravitational force. In such an approach the gravitational potential U (r)=k/r (F (x) = −grad(U) ) is derived from the knowledge of the force. How to find the expression of the gravitational force when studying the mass dynamics in other geometries?

La théorie des produits de matrices aléatoires initiée par Kesten et Furstenberg dans les années 1960-1970 et développée ultérieurement de façon considérable par l’école française et russe a connu dans les dernières années d'énormes applications aux graphes expanseurs, à la classification des mesures stationnaires sur les espaces homogènes, en approximation diophantienne …

Cet exposé sera centré sur le résultat suivant, établi avec Cyril Lecuire et reposant sur de nombreuses contributions: un groupe de type fini quasi-isométrique au groupe fondamental d'une variété compacte de dimension trois contient un sous-groupe d'indice fini isomorphe au groupe fondamental d'une variété compacte de dimension trois.