Titre : Réseaux compositionnels pour la réduction de dimension non linéaire et l’apprentissage d’opérateurs : application aux EDPs dépendant de paramètres
Résumé: Cette thèse développe de nouvelles méthodes guidées par les données pour les équations aux dérivées partielles (EDP) paramétriques, en se concentrant sur les techniques de réduction de modèle non linéaire et sur l’apprentissage d’opérateurs.
Nous abordons d’abord l’étape hors-ligne de la réduction de modèle. Notre première contribution est une méthode d’approximation non linéaire de variétés qui permet d’approcher avec précision un sous-ensemble donné d’un espace de Hilbert (la variété des solutions, dans le contexte des EDP) par un ensemble non linéaire de faible dimension. Nous introduisons la notion de réseaux polynomiaux compositionnels pour construire cet ensemble non linéaire, et nous proposons une stratégie adaptative qui garantit que l’erreur d’approximation reste inférieure à une cible prescrite et que l’application d’approximation est robuste aux perturbations.
Nous exploitons ensuite la méthode hors ligne proposée pour les problèmes inverses, où seules quelques mesures linéaires d’une solution sont disponibles. Nous proposons une stratégie d’optimisation fondée sur la descente de gradient naturel et sur l’échantillonnage optimal afin de reconstruire la solution à partir de ces mesures.
Dans le cadre de l’apprentissage d’opérateurs, dont l’objectif est d’approcher une application entre espaces de fonctions, nous passons en revue les approches existantes fondées sur des réseaux de neurones profonds, telles que les réseaux d’opérateurs profonds (DeepONets) et l’opérateur neuronal de Fourier (FNO), et nous proposons une extension du FNO qui exploite les propriétés spécifiques de l’opérateur étudié. Nous montrons également que l’ensemble d’approximation non linéaire proposé peut être utilisé pour construire des approximations précises d’opérateurs issus d’EDP. Comme dans le cas hors ligne, nous proposons une stratégie adaptative guidée par les données qui garantit que l’erreur d’approximation reste inférieure à une cible donnée.
salle 3, bât. 11
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