Méthodes de la théorie des points critiques à l’infini sur les variétés de Cauchy Riemann

Dédié à la mémoire du Professeur Abbes BAHRI

par Najoua Gamara (Faculté des Sciences de Tunis & Taibah University, KSA)

ce cours sera donné en français

Résumé : Les espaces sous-Riemanniens sont des espaces dont la structure métrique peut être considérée comme ayant une géométrie contrainte, où le mouvement est possible le long d'un ensemble donné de directions, en changeant de point en point. L'exemple le plus simple de ces espaces est donné par le groupe que de Heisenberg. La motion contrainte caractéristique des espaces sous-Riemanniens a de nombreuses applications allant du contrôle robotique dans l'ingénierie et de la neurobiologie où il se pose naturellement dans l'imagerie par résonance magnétique fonctionnelle. Il se pose aussi naturellement dans d'autres branches des mathématiques pures telle que la géométrie de Cauchy Riemann, les espaces hyperboliques complexes, et les espaces de jet.
Dans ce cours, nous étudierons un exemple de l'utilisation de la relation entre la géométrie du groupe de Heisenberg et la géométrie de Cauchy Riemann (CR). Plus précisément, nous nous concentrerons sur le problème de la prescription de la courbure scalaire en utilisant des techniques liées à la théorie des points critiques à l'infini. Ces techniques ont été initialement introduites par A. Bahri, A. Bahri et H. Brezis pour la résolution de la conjecture de Yamabe dans le cas des variétés Riemanniennes.

Détails:
1. Formulation de la prescription du problème de courbure scalaire sur les variétés riemanniennes: nous donnons un examen rapide des différentes techniques utilisées pour résoudre ce problème.
2. Introduction aux variétés de Cauchy Riemann (CR): distribution de Levi, Forme de contact, champ de Reeb, exemple: le Groupe de Heisenberg.
3. La prescription de la courbure scalaire sur les variétés CR: la fonctionnelle associée.
4. Rappel des théories de Lusternik-Schnirelman et Morse pour les dimensions finie et infinie: théorie des points critiques, Lemme de déformation, la condition de Palais-Smale (PS), le manque de compacité.
5. Les points critiques à l'infini
6. Le théorème de Poincaré-Hopf
7. Résultats d’existence et preuves