Sur le spectre absolument continu d'opérateurs discrets.

par Sylvain Golénia (Université de Bordeaux- France)

Slides : golenia_kairouan.pdf (931.84 Ko)
Résumé : Après avoir revu les propriétés générales des opérateurs auto-adjoints bornés nous étudierons en détail le spectre de certains opérateurs discrets : Matrice adjacente sur Z, N, un arbre, un anti-arbre et aussi l'opérateur de Dirac discret sur Z.

Nous nous lancerons ensuite dans une étude plus fine des opérateurs auto-adjoints en construisant le calcul fonctionnel continu. Grâce à celui-ci nous développerons la théorie du spectre essentiel et nous démontrerons un théorème de stabilité. Celui-ci sera appliqué aux exemples développés précédemment.

Ensuite nous construirons le calcul fonctionnel mesurable. Nous passerons au découpage du spectre en partie pp, ac et sc. Nous donnerons ensuite des propriétés de stabilité de la partie ac et comment montrer l'absence du spectre sc.

Dans une dernière partie nous présenterons la théorie de Mourre dans le cadre abstrait mais aussi sur un exemple concret, celui de la matrice adjacente sur Z. Nous donnerons alors un résultat beaucoup plus fort que celui de l'absence du spectre sc. Nous montrerons un principe d'absorption limite et aussi des estimations de propagation.

Ce cours est à suivre en parallèle avec celui de Constanza Rojas-Molina et celui de Hatem Najar.