Solution de Floquet pour l’équation de Schrödinger quasi-périodique

Dans cet exposé, nous nous intéresserons à un type particulier d’équations issues de la physique mathématique dont l’équation de Schrödinger à potentiel quasi-périodique constitue un exemple important. Parmi les solutions d'un tel système, nous étudierons l’existence de solutions réductibles, qui, via une conjugaison bien choisie, se ramènent à un système constant. Contrairement au cas périodique - synthétisé par le théorème de Floquet - où toute solution est réductible, le cas quasi-périodique est beaucoup plus riche de possibilités. En particulier, dans un cadre perturbatif et antisymétrique, on peut, via un jeu sur les résonances, aboutir à des situations paradoxales. Par exemple, nous verrons que les systèmes sont “typiquement” : • pour le probabiliste, réductibles avec une dynamique “localisée”; • pour le topologue, uniquement ergodiques avec une dynamique fortement “diffusante”. Cet exposé permettra d’aborder quelques points de théorie K.A.M à l’aide d’outils basiques d’analyse et d’algèbre linéaire. Mots clefs: Physique-mathématique, Système dynamique, Théorie K.A.M, Opérateur de Schrödinger, Produit-croisées, Résonances, Petits diviseurs.