Au 17e siècle, la guerre du calcul infinitésimal fait rage, opposant Leibniz et les "accroissement évanescents" et Newton et les "quantités fluentes". Newton gagne, les epsilon et les delta avec lui. Le calcul diff' tel qu'on le pratique aujourd'hui de la Tasmanie au Groenland est celui de l'homme qui se prenait des pommes. Pourtant, dans les années 60, la théorie des modèles d'Abraham Robinson offre un cadre mathématique rigoureux à la pensée de Leibniz.
Dans cet exposé, j'essaierai de vous raconter comment, grâce à une propriété essentielle de la logique du premier ordre - la compacité - on peut déduire l'existence d'un modèle des réels non-standards (les nombres réels augmentés de nombres infiniment petits et infiniment grands). J'essaierai ensuite (qui ne tente rien...) de vous montrer la construction classique (standard!) des réels non-standards, à l'aide d'objets centraux en logique, les ultrapuissances.
Rien d'effrayant dans tout cela. Je ne connais pas plus les mots que j'emploie que vous, vous pouvez donc venir rassurés, personne dans la salle ne saura de quoi il est question.