Estimation de l'ordre de convergence du schéma upwind pour l'équation de transport

Dans cet exposé, nous montrons que l'erreur (en norme L1) entre la solution exacte de l'équation de transport et son approximation par le schéma upwind est d'ordre h\sqrt{h}, où h est la taille typique d'une maille. La nouveauté de ce résultat est qu'on se place sur un demi-espace et non sur Rn\mathbb{R}^n tout entier, et qu'on a donc, en plus de la donnée initiale, une donnée au bord sur la partie du bord où le champs de vitesse est rentrant. Nous étendons à ce cas le résultat de convergence optimal à l'ordre 1/2 établi par Merlet et Vovelle, en gardant des conditions assez générales sur le maillage (régulier mais pas cartésien), sur les données initiale et au bord (seulement BV) et sur le champs de vitesse. Ce dernier est supposé à divergence nulle et lipschitzien en espace, mais peut varier discontinument en temps. La présence d'un bord complique singulièrement l'analyse de convergence, en particulier parce que la solution exacte est moins régulière que dans le cas de l'espace tout entier. Je présenterai la structure de la preuve et les résultats nouveaux sur la solution exacte qui permettent de conclure. Ceci est un travail avec Franck Boyer (IMT).