Problème de diffusion inverse à énergie fixée pour des variétés de Stackel asymptotiquement hyperboliques de dimension 3

Dans cet exposé, on s’intéressera à un problème de diffusion inverse à énergie fixée pour des variétés de Stackel de dimension 3 ayant la topologie d'un cylindre torique et possédant une structure asymptotiquement hyperbolique aux deux bouts radiaux. Les variétés de Stackel ont été introduites en 1891 par Stackel et sont d'un grand intérêt dans la théorie de séparation des variables. En effet, la structure de Stackel, introduite en 1891, associée à une condition supplémentaire, dite condition de Robertson, implique la séparabilité multiplicative de l'équation de Helmholtz. Autrement, on peut transformer cette dernière en un système de trois EDOs et ainsi se ramener à l'étude d'un problème unidimensionnel. De plus, la structure asymptotiquement hyperbolique aux deux bouts radiaux nous permet de définir la matrice de diffusion pour toute énergie non nulle. On montre alors que la connaissance de la matrice de diffusion à une énergie fixée non nulle est suffisante pour déterminer de façon unique la métrique. L'idée principale de la preuve consiste à complexifier les deux moments angulaires (correspondants aux constantes de séparation de l'équation de Helmholtz) et à utiliser des résultats d'unicité pour des fonctions holomorphes de plusieurs variables. Dans cet exposé, on commencera par rappeler la définition de la structure de Stackel ainsi que la structure asymptotiquement hyperbolique. Dans un second on montrera comment procéder à la séparation des variables pour l'équation de Helmholtz puis on introduira la fonction de Weyl-Titchmarsh et nous verrons qu'il s'agit d'un outil puissant pour la résolution des problèmes inverses spectraux (Théorème de Borg-Marchenko). Enfin, on donnera des idées de preuve du résultat principal et en particulier de la méthode de Complexification du Moment Angulaire.