Géométrie asymptotique sous-linéaire des groupes hyperboliques

La théorie géométrique des groupes associe aux groupes infinis des invariants dits asymptotiques ; parmi ceux-ci, le cône asymptotique, qui correspond à "l'image que l'on observerait depuis une distance infinie". Si deux groupes $G$ et $G'$ ont des cônes asymptotiques liés par un homéomorphisme bilipschitzien, celui-ci est-il toujours induit par une application entre $G$ et $G'$ respectant (dans un sens approché) leur structure métrique ? On donnera un sens précis à cette question dans le langage de la géométrie sous-linéairement lipschitzienne à grande échelle récemment introduite par Yves de Cornulier, et on examinera spécifiquement les groupes de Lie réels hyperboliques, que l'on comparera au cas (très différent) des groupes nilpotents.