La théorie des produits de matrices aléatoires initiée par Kesten et Furstenberg dans les années 1960-1970 et développée ultérieurement de façon considérable par l’école française et russe a connu dans les dernières années d'énormes applications aux graphes expanseurs, à la classification des mesures stationnaires sur les espaces homogènes, en approximation diophantienne …
La théorie des produits de matrices aléatoires est bien développée dans le cadre où le support de la mesure de probabilité sur le groupe général linéaire (sur un corps local quelconque) engendre un semi-groupe de matrices irréductible (hypothèse algébrique/géométrique) et proximal (hypothèse dynamique). Cela n’est pas indépendant du fait que la plupart des applications de cette théorie à présent concernent les marches aléatoires sur les groupes réductifs.
Dans cet exposé, nous présentons des résultats obtenus récemment avec Yves Guivarc’h où nous faisons abstraction de l’hypothèse d’irréductibilité tout en gardant une hypothèse dynamique (exposant de Lyapunov simple). Nous montrerons l’existence et l’unicité de la mesure stationnaire sur l'espace projectif en dehors d’un sous-espace projectif, mettant dans un même cadre les marches aléatoires dans le cas irréducible-proximal (i-p) et celles sur le groupe affine. Le cadre général étudié se trouve être en fait un mix entre le deux cas précédents: il s’agit essentiellement d’une marche aléatoire sur un espace fibré en affine au dessus d’un espace projectif où l’action est essentiellement i-p. Nous présentons des résultats décrivant le support de la mesure stationnaire et montrons sa régularité holdérienne. Enfin, nous mettons le point sur les questions qu’ouvre ce travail.
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