Transfert d'énergie et convergence vers les points d'équilibre dans les systèmes dissipatifs étendus

On étudie la dissipation locale de l'énergie pour des EDP de type gradient sur des domaines non bornés. On part de l'hypothèse (vérifiée dans de nombreux exemples classiques) que le carré du flux d'énergie est majoré par une quantité linéaire en la dissipation d'énergie. On établit alors des bornes simples et universelles sur le flux d'énergie intégré en temps qui impliquent que, si la dimension de l'espace n'est pas trop grande, notre "système dynamique étendu" se comporte la plupart du temps comme un système gradient. En particulier, on peut estimer le temps passé par toute trajectoire en dehors d'un voisinage donné de l'ensemble des points d'équilibre. A titre d'application, on étudie le comportement asymptotique en temps des solutions de l'équation de Navier-Stokes à deux dimensions dans un cylindre infini. Cet exposé est basé sur une collaboration en cours avec Sinisa Slijepcevic (Zagreb).