Un schéma volumes finis pour un modèle de Patlak-Keller-Segel avec diffusion croisée

On analyse un schéma volumes finis pour un modèle de Keller-Segel en dimension 2 avec diffusion croisée étudié par S. Hittmeir et A. Jüngel dans un article de 2011. On considère le modèle parabolique-elliptique, avec l'ajout d'un terme de diffusion croisée dans l'équation elliptique. Ce terme empêche l'explosion des solutions en temps fini, qui peut avoir lieu pour le système de Keller-Segel classique. On considère une discrétisation volumes finis en espace et implicite en temps. Après avoir prouvé l'existence d'une solution au schéma, on obtient une inégalité d'entropie en utilisant des versions discrètes d'inégalités de Sobolev, et on peut finalement en déduire des estimations a priori. On obtient alors grâce à ces estimations la compacité d'une famille de solutions approchées et on peut passer à la limite dans le schéma. Dans le cas où le coefficient devant le terme de diffusion croisée est suffisamment grand, on peut prouver la convergence en temps long de la solution vers l'état stationnaire homogène en utilisant l'inégalité d'entropie. On obtient de plus une estimation du taux de convergence grâce à une inégalité de Sobolev logarithmique discrète.