Réarrangement symétrique décroissant

À la croisée de la théorie de la mesure et de la géométrie, l’inégalité de Pólya–Szegő affirme que l’énergie des fonctions de Sobolev est décroissante pour le réarrangement symétrique décroissant. Cette inégalité, en lien avec l’inégalité isopérimétrique (et donc l’inégalité arithmético-géométrique), a notamment permis d’expliciter des maximiseurs dans l’inégalité de Sobolev. Je sais, ça fait beaucoup d’inégalités, mais j’introduirai toutes les notions nécessaires, et j’apporterai des preuves (élémentaires !) des résultats.