Schmüdgen et Putinar : quand être positif implique être somme de carrés.

Dans un corps ordonné (typiquement Q ou R), un élement est positif si et seulement si il est somme de carrés. Pour un anneau ordonné (typiquement un anneau de fonctions sur un corps ordonné) il existe des élements positifs qui ne sont pas somme de carrrés. Ce lien entre positivité et somme de carrés, introduit par le 17e problème de Hilbert, est au cœur de la géométrie algébrique réelle. Nous en explorerons les fondements pour aboutir aux théorèmes de Schmüdgen et Putinar, qui donnent des conditions suffisantes pour que des fonctions soient écrivables comme somme de carrés.