Nous présentons une méthode permettant de simuler le mouvement de particules rigides immergées dans un fluide visqueux incompressible. On considère un domaine perforé dans lequel on veut résoudre les équations de Stokes incompressible avec une condition de mouvement rigide sur le bord des inclusions (qui représentent les particules rigides) avec une méthode élément finis.
La méthode présentée est une méthode de type domaine fictif ce qui permet l'utilisation de maillage cartésien fixe ainsi que de solveur rapide. Les méthodes de domaine fictif prolonge la solution au domaine tout entier et souffre d'une perte d'ordre de l'erreur en espace dans le cas ou ce prolongement n'est pas régulier. Ainsi, pour prendre en compte la contrainte de mouvement rigide sur le bord de chaques inclusions, on cherche un prolongement régulier de la solution du problème de départ. Pour cela, on résout les équations de Stokes incompressibles dans le domaine fictif avec un prolongement du terme source choisit de façon à obtenir la solution du problème de départ en prenant la restriction, sur le domaine perforé, de la solution calculée.
Tout le problème revient donc à trouver un tel prolongement du terme source qui est trouvé en minimisant une fonction coût avec un algorithme de gradient conjugué. On ne résout que des problèmes de Stokes classiques, non contraint, où seul le terme source dépend de la position des particules.
Nous présentons donc la méthode en détails ainsi que l'algorithme utilisé pour résoudre le problème. On résout deux problèmes de Stokes par itérations du gradient conjugué dont l'un fait intervenir une distribution simple couche. Nous présentons l'analyse numérique de l'approximation de cette distribution par une combinaison de masses de Dirac. Enfin nous présentons quelques simulations en deux et trois dimensions obtenues avec le code de calcul développé.