Le bas du spectre des opérateurs de Schrödinger sur les variétés riemanniennes

Nous montrons qu'une variété riemanienne à poids $(M,g,\mu)$ qui admet une inégalité de Faber-Krahn relative vérifie une égalité à la "Fefferman-Phong" : $$\forall \psi\in \mathcal{C}^1_0(M)\colon\ \int_M V\psi^2d\mu\le C \int_M |d\psi|^2d\mu$$ où la constante $C$ dépend d'une norme Morrey de V. Nous en déduisons une estimation sur le bas du spectre de l'opérateur de Schrödinger $\Delta-V$.