Les représentations irréductibles du groupe unitaire admettent une base canonique, qui a été implicitement introduite par Gelfand et Zetlin pour donner une construction de ces représentations à travers des formules explicites pour ses éléments de matrices. Dans cet exposé, nous expliquerons comment calculer leurs asymptotiques lorsque le plus haut poids poids de la représentation tend vers l'infini. Il s'agit d'une illustration de la méthode des orbites, où une représentation irréductible est interprétée comme la quantification géométrique d'une orbite coadjointe du groupe unitaire, considérée comme un espace des phases en mécanique classique. Cela utilise des outils de quantification de Berezin-Toeplitz, ainsi qu'une construction due à Guillemin et Sternberg d'un système intégrable naturel sur cette orbite coadjointe, appelé système de Gelfand-Zetlin.