Des cristaux à la forme de notre univers, en passant par les structures du vivant, des questions de symétries se posent à toutes les échelles d'organisation de la matière, mathématiquement souvent en termes d'isométries ou de théorie des groupes. La statistique directionnelle est justement l'étude des données provenant d'objets "naturels" autres que la droite réelle, comme les sphères et les graphes, les groupes de Lie, où un simple calcul de moyenne requiert l'utilisation de technique et fonctions "spéciales".

Qu'est-ce qu'une fonction spéciale ? Les premières sont les sept familles de polynômes orthogonaux classiques, continus ou discrets. Le point de vue initié par E. Cartan, développé par N. Ya. Vilenkin, relie des fonctions spéciales plus générales à la théorie de la représentation des groupes, outil né des questions de symétrie, donc doublement adapté a ce domaine de la statistique directionnelle qui nous intéresse.

Notre outil principal est fourni par les développements de Karhunen-Loève, qui, faisant intervenir des fonctions spéciales et des noyaux de covariance, sont à l'intersection des statistiques (composantes principales, distributions asymptotiques), probabilités (espaces gaussiens, à noyau auto-reproduisant) et de l'analyse (Théorème de Mercer).

Nous tenterons d'illustrer ces questions à travers nos publications des six dernières années : par des problèmes aussi concrets que les vides de l'univers (collaboration avec E. Russel), la stratégie de course au Marathon (collaboration avec V. Billat), puis les tests d'adéquations sur des variétés ou graphes 2-point homogènes, et enfin le problème plus abstrait d'une identité de duplication de G. Watson sur le cercle (étudiée par M. Yor et Z. Shi), dont nous esquissons une généralisation, objet de nos travaux actuels.
Un problème concernant la loi des grands nombres, posé par D. Pierre-Loti-Viaud, sera évoqué.