En recollant les côtés opposés d'un carré on obtient un tore muni d'une métrique plate héritée de la métrique euclidienne du plan. De la même façon, on peut créer des surfaces de genre plus grand en recollant des côtés parallèles de plusieurs carrés. Ces "surfaces à petits carreaux" sont naturellement munies d'une métrique plate à singularités coniques. Dans cet exposé, je présenterai des résultats récents et des conjectures sur la géométrie de ces surfaces (et de familles plus générales de surfaces plates) en grand genre (travail en collaboration avec V. Delecroix, P.Zograf and A. Zorich). J'expliquerai également comment on peut interpréter ces résultats en terme de courbes fermées sur les surfaces, et en termes de méandres.