Nous allons nous intéresser aux variables aléatoires de la forme Pn((Xi)i≥1), où : (i) (Pn)n≥1 est une suite de polynômes multivariés, chacun avec un nombre possiblement dénombrable de variables ; (ii) il existe une constante D≥1 telle que pour tout n≥1, le degré de Pn est borné par D ; (iii) (Xi)i≥1 est une suite de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées, chacune ayant une moyenne nulle, une variance 1 et des moments finis à tout ordre.

Nous présenterons d'abord différents contextes où ces objets apparaissent naturellement: décomposition de Wiener pour des fonctionnelles d'un champ Gaussien, décomposition de Walsh pour des fonctions booléennes ou encore la décomposition Anova de Hoeffding puis donnerons quelques exemples d'utilisation récents de ces objets en physique statistique, théorie des graphes, géométrie aléatoire ou encore sciences sociales.

L'objectif principal de l'exposé est de présenter la résolution d'une question ouverte dans ce domaine de recherche consistant à classifier toutes les limites possibles en loi pour ce type de variables aléatoires.

Références: (liens arxiv)

-https://arxiv.org/abs/math/0503503

-https://arxiv.org/abs/2203.02850

-https://www.mathnet.ru/links/8acff9ba19ee0ead6e448b77afbcde60/rm9721_eng.pdf