Nous montrons qu'un domaine pseudoconvexe bidimensionnel de type fini avec une métrique de Bergman Kähler-Einstein est biholomorphe à la boule unité. Cela répond à une vieille question de Yau pour de tels domaines. La preuve repose sur l'asymptotique des dérivées du noyau de Bergman le long de chemins tangents critiques s'approchant de la frontière, où l'ordre de tangence est égal au type du point frontière approché. Travail en collaboration avec M. Xiao.