Un processus auto-régressif multivarié (VAR) de dimension p est défini par l’équation Xt+1=ΘXt+Zt​ où Θ est une matrice réelle de taille p*p et (Zt)_t est un bruit blanc gaussien. Dans cet exposé, je vous présenterai deux axes de recherche visant à étudier les processus VAR dans un contexte de grande dimension.

Dans un premier temps, on analysera les réalisations d’un processus VAR en supposant que la dimension p du processus (Xt)t est élevée. Sous l’hypothèse que la matrice Θ est de rang faible, l’objectif sera de déterminer si elle subit un changement au cours du temps ou non. Pour détecter cette rupture, nous proposerons un test statistique dont l’efficacité sera évaluée à l’aide de simulations numériques.

Dans un second temps, on s'intéressera à la question de savoir si Θ est nulle ou non, autrement dit, si notre processus est un bruit blanc ou non. Pour cela, nous examinerons la plus grande valeur propre de la matrice d’autocovariance empirique du processus VAR. Cette partie de l’exposé s’attachera donc à l’étude des valeurs propres de matrices aléatoires, avec une première partie sur les théorèmes de base de la théorie des matrices aléatoires hermitiennes. Ensuite, nous étudierons le cas des matrice aléatoires non hermitiennes, c'est le cas de la matrice d'autocovariance empirique par exemple . La plus grande difficulté dans l’étude des valeurs propres d’une matrice non hermitienne est leur instabilité : une perturbation, même minime, peut avoir un très fort impact dans le comportement des valeurs propres.