Apparue au 19ème siècle avec notamment les travaux de W. Hamilton, la géométrie symplectique a pris un rôle prépondérant dans la description mathématique de la mécanique moderne. Le but de cet exposé est d'en expliquer quelques notions fondamentales, en exploitant plusieurs exemples issus de divers domaines de la physique, tels que l'optique géométrique, la mécanique analytique ou encore la thermodynamique. On verra aussi en quoi la géométrie symplectique donne un cadre adapté à l'étude des liens entre symétries, invariants et intégrabilité d'un système, dans la continuité des théorèmes de E. Noether et J. Liouville.