Le 21ème problem de Hilbert (1900) a amené beaucoup de matematicien.nes à étudier des ODE sur la droite complexe. Ici tout est plus bizarre: il suffit de penser que le logarithme complexe n'est pas bien défini (ce qui, vous pouvez imaginer, pose pas mal des soucis pour l’intégration). Le problème de Hilbert a ensuite évolué avec le temps. On s'est rendu compte que la droite complexe était "trop petite" pour répondre à la question, et qu'il fallait plutôt travailler sur la sphère de Riemann, qui est la compactification naturelle de $\mathbb{C}$ en rajoutant un point que l'on appelle "l'infini". En partant d'un petit théorème topologique et d'un exemple simple et classique on présentera les systèmes de ODE de rang deux sur la sphère de Riemann et leur monodromie.