Cet exposé présente mes travaux récents sur l'équation de Benjamin–Ono. Ces travaux reposent sur l'extension et l'utilisation de formules explicites pour étudier la limite de zéro dispersion et établir un nouveau schéma numérique.

Premièrement, je présenterai les résultats sur l'extension de la formule explicite et son application à la limite de zéro dispersion. Nous avons étendu la formule explicite pour l'équation de Benjamin–Ono sur la droite aux données initiales à valeurs réelles et de carré intégrable. Cette avancée nous a permis d'étudier rigoureusement la limite de zéro dispersion pour des données initiales plus singulières.

Deuxièmement, je montrerai comment la formule explicite permet de développer un nouveau schéma numérique pour l'équation de Benjamin–Ono sur le cercle. Il s'agit d'un travail en collaboration avec Yvonne Alama Bronsard et Matthieu Dolbeault. Un point central de ce travail est que nous avons démontré rigoureusement la convergence de ce schéma. Ce schéma, exact en temps et spectral en espace, permet d'étudier efficacement la dynamique en temps long.