Lorsque l'on est face à une équation sur les entiers, une stratégie élémentaire est de la considérer modulo des nombres premiers bien choisis. Par exemple, l'équation $x^2 + 5y = 2$ n'admet pas de solutions entières, puisque 2 n'est pas un carré modulo 5. Plus généralement, on peut espérer qu'étant donné un objet "arithmétique" X, on puisse lire un certains nombre de ses propriétés sur ses incarnations modulo chaque nombre premier. Une manière de regrouper ces informations "locales" est de considérer la "fonction L" de X. Un des premiers exemples de telles fonctions est la fonction zêta de Riemann, et nous nous attarderons en profondeur sur ses propriétés. Nous verrons ensuite que la fonction zêta de Riemann est un exemple de fonction zêta de Dedekind, qui sont des fonctions L dont les objets "arithmétiques" associés sont les corps de nombres (les extensions finies de $\mathbb Q$). Nous verrons comment ces fonctions zêta permettent de retrouver des invariants importants des corps de nombres, notamment à travers la formule du nombre de classes. Si le temps le permet, nous verrons comment, par analogie avec la formule du nombre de classes, on peut appréhender la conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer sur les fonctions L des courbes elliptiques (une des conjecture du millénaire).