Une question centrale en géométrie kählérienne est celle de l’existence de métriques canoniques. Dans les années 1980, Calabi propose de rechercher des métriques extrémales. Du point de vue analytique, celles-ci sont des solutions d’une EDP non linéaire d’ordre quatre, et sont donc particulièrement difficiles à résoudre.

Dans cet exposé, nous aborderons l’existence de métriques extrémales sur les fibrés projectifs au-dessus d’une courbe à partir d’un point de vue « torique symplectique », inspiré des travaux de Donaldson. Nous verrons alors que l’existence d’une métrique extrémale sur un fibré projectif au-dessus d’une courbe peut être caractérisée par une condition de stabilité portant sur un certain polytope moment. Nous illustrerons cette condition à travers des classes d’exemples pour lesquelles elle peut être vérifiée, obtenant ainsi de nouvelles variétés « rêve de Calabi », c’est-à-dire admettant une métrique extrémale dans chaque classe de Kähler.

Cet exposé s’appuie en partie sur un travail en collaboration avec C. Yin.