Sur la finitude des rayons critiques de fonctionnelles d'Einstein--Hilbert

Une métrique conique kählérienne à courbure scalaire constante est un point critique de la fonctionnelle d'Einstein--Hilbert. Celle-ci est l'analogue en géométrie complexe d'une fonctionnelle qu'Einstein lui-même a utilisée pour déduire l'équation portant son nom. Il se trouve que cette fonctionnelle ne dépend que des générateurs des champs de vecteurs hamiltoniens des métriques kählériennes coniques. Dans le cas où l'apex du cône est une singularité Q-Gorenstein, la fonctionnelle normalisée admet un unique point critique qui engendre le champ de vecteur d'une métrique de Calabi--Yau. Des exemples explicites semblent favoriser la conjecture que ces points critiques sont en nombre fini dans le cas général. Dans mon exposé, je présenterai des avancées récentes sur ce problème. Il s'agit d'un travail en commun avec Eveline Legendre.