On s’intéresse dans cet exposé au processus de Langevin sur-amorti à basse température $ h\to 0 $ associé à un potentiel $ f $ de Morse dans un domaine borné $ \Omega $. Le générateur infinitésimal associé est alors donné par l’opérateur différentiel semi-classique $ L = \nabla f\cdot \nabla - \frac h 2 \Delta $ qui est, à conjugaison près, un Laplacien de Witten.
Lorsque le domaine $ \Omega $ est un puits confinant du potentiel $ f $ avec un seul minimum local, il est connu que les trajectoires de ce processus, partant d’un point $ x \in \Omega $, sortent de $ \Omega $ (i.e. atteignent $ \partial \Omega $) dans un voisinage des minima globaux de $ f |_{\partial \Omega} $ avec une probabilité tendant vers $ 1 $ lorsque $ h\to 0 $.
On cherchera ici à obtenir et à généraliser ces résultats à des domaines $ \Omega $ plus généraux lorsque le processus suit initialement une distribution naturelle dans $ \Omega $ appelée distribution quasi-stationnaire. Cela revient à étudier précisément certaines propriétés liées au bas du spectre de l’opérateur $ L $. On verra aussi que les résultats obtenus pour la distribution quasi-stationnaire peuvent s’étendre à certaines conditions initiales déterministes. (Travail en collaboration avec Giacomo Di Gesù, Tony Lelièvre et Boris Nectoux)