Le Laplacien sur $R^n$ se généralise naturellement dans le cadre de la géométrie riemmanienne. Dans $R^n$, son spectre est continu, mais sur une corde vibrante à bouts fixes, il est discret et déterminé par la longueur de celle-ci. De manière générale, sur une variété compacte, son spectre est discret et est lié à la géométrie de la variété. L'objectif de l'exposé sera de présenter un résultat de Cheng donnant une borne sur la multiplicité des valeurs propres du Laplacien sur les surfaces fermées en fonction de leur topologie. En particulier, Cheng démontre que quel que soit la métrique $g$ que l'on met sur la sphère $S^2$, la première valeur propre aura au plus multipicité 3, comme dans le cas de la sphère ronde habituelle!
Je commencerai par une courte présentation du Laplacien avant d'entrer en matière. Je donnerai les grandes étapes de la démonstration en m'attardant sur les arguments les plus amusants.