Groupoïdes et théorème de van Kampen

On s'intéressera au groupe fondamental d'une variété et à certaines généralisations. Un outil fondamental pour le calcul de cet invariant est le théorème de van Kampen, qui permet de déterminer $\pi1(U \cup V)$ à partir de $\pi1(U)$ et $\pi1(V)$, si $U\cap V$ est connexe. Mais cela ne s'applique pas au cercle, et l'on passe habituellement par les revêtements pour montrer que $\pi1(S^1) =\mathbb{Z}$. Dans cet exposé je présenterai une preuve alternative de ce résultat à l'aide des groupoïdes, qui sont des catégories représentant des "groupes fondamentaux avec plusieurs points de base". On prouvera ainsi un théorème de van Kampen sur les groupoïdes, et si le temps le permet on évoquera les généralisations en plus grand degré.