Une métrique lorentzienne pour comprendre des systèmes dynamiques sur les surfaces

Toute surface différentielle peut être "habillée" par différentes structures géométriques sympathiques, par exemple une métrique riemannienne à courbure constante pour n'en citer qu'une. L'existence d'une structure de ce type pour toute surface (qui découle d'un résultat profond, le théorème d'uniformisation de Poincaré-Riemann) permet de les étudier à l'aide de la géométrie. Ce point de vue peut sembler anachronique puisque l'on connaît la classification topologique des surfaces sans avoir besoin de structures géométriques, mais cette "géométrisation" est cependant très utile à l'étude des surfaces. Dans cet exposé, je présenterai un exemple simple où l'on utilise la géométrie, non plus pour étudier les surfaces d'un point de vue topologique, mais pour classifier un certain type de systèmes dynamiques sur les surfaces. J'expliquerai ce qu'est un difféomorphisme Anosov, qui consiste à prescrire un comportement infinitésimal hyperbolique, et je me concentrerai sur un exemple particulier et tout à fait accessible : la transformation induite sur le tore T2 par une matrice inversible à coefficients entiers, et sans valeurs propres de module 1. L'objectif de l'exposé sera de comprendre pourquoi (sous deux petites hypothèses que nous préciserons) tout difféomorphisme Anosov sur une surface est en fait équivalent à l'exemple exposé plus haut. Pour faire cela, nous utiliserons une métrique lorentzienne préservée par le difféomorphisme étudié. Cette belle preuve (cas particulier d'un résultat beaucoup plus général) est tirée d'un travail de André Avez.