Codage des processus de branchement multi-types

La modélisation d'évolution de population, comme la reproduction cellulaire, peut se faire à l'aide des processus de branchement. Dans le cas discret, ils sont connus sous le nom de processus de Bienaymé-Galton-Watson. Ce premier cas a longuement été étudié par les mathématiciens. Nous sommes capables, entre autre, d'étudier sa probabilité d'extinction, son nombre d'individu, son nombre de feuille, le nombre d'individu d'un degré donné... L'une des méthodes permettant l'étude de tels processus est d'associer au processus de B-G-W une marche aléatoire, dite à décroissance unitaire. C'est le codage de Lukasiewich-Harris. Dans cet exposé, on introduira la notion de processus de branchement multi-types discret (i.e. processus à $d\in\N$ types). Autrement dit, lors de la reproduction cellulaire, on autorise l'apparition d'un nombre fini $d$ de mutations. On obtient alors un nouveau type de cellule. Nous définirons le codage de Lukasiewich-Harris pour de tels processus, c'est-à-dire que nous verrons comment coder notre processus à l'aide d'une matrice de marche aléatoire. Nous nous intéresserons ensuite au théorème du ballot, dans ce cas. Suivant le temps dont nous disposerons, nous essaierons de le montrer dans le cas $d=1$.