Partons du système dynamique suivant. Soit $G=\mathrm{PSL}(2,\mathbb{R})$ et $\Gamma$ un sous-groupe discret, Zariski dense de $G$, agissant proprement discontinuement sur $\mathbb{H}^2$ et de covolume infini. L'action par multiplication à droite du sous-groupe des matrices diagonales $A$ sur $\Gamma \backslash G$ s'identifie alors à l'action du flot géodésique sur le fibré unitaire tangent $T^1 \Gamma \backslash \mathbb{H}^2$. Il est alors bien connu que cette action est topologiquement mélangeante sur son ensemble non-errant.
Que se passe-t-il lorsque $G= \mathrm{PSL}(2,\mathbb{R}) \times \mathrm{PSL}(2,\mathbb{R})$, ou plus généralement pour un groupe de Lie semisimple réel linéaire de type non-compact de rang réel quelconque ? Dans un travail commun avec Olivier Glorieux, nous avons obtenu une condition nécessaire et suffisante de mélange topologique pour les flots directionnels des chambres de Weyl.
Je présenterai dans cet exposé les principales idées de la preuve de ce Théorème de mélange.