L'équation différentielle $y'(z)=\frac{1/2}{z} y(z)$ a pour solution la fonction $z^{1/2}$. Lorsque l'on tente de définir cette expression comme une fonction sur $\mathbb{C}$, on doit se resteindre à un sous-ensemble simplement connexe ne contenant pas le point $0$ : on est face à un problème de monodromie.
La correspondance de Riemann--Hilbert nous dit qu'il existe un seul système différentiel singulier régulier dont les solutions vérifie une certaine donnée de monodromie.
Le but de cet exposé est de motiver cette correspondance puis d'expliquer comment en déduire le théorème de Birkhoff--Grothendieck sur la structure des fibrés vectoriels sur la sphère de Riemann.