Homogénéisation et méthodes à deux échelles.

La théorie de l'homogénéisation est une branche de l'analyse mathématique qui traite le comportement asymptotique d'opérateurs différentiels aux coefficients oscillants rapidement. Le but est décrire le comportement macroscopique d'un système qui est hétérogène à l'échelle microscopique. Dans un premier temps, on donne quelques rappels sur les espaces de Sobolev périodiques et quelques résultats classiques dans la théorie des équations elliptiques. Ensuite, on introduit la méthode multi-échelle qui est basée sur un développement asymptotique particulière de la solution. Finalement, on détaille une deuxième méthode d'homogénéisation dite "méthode de convergence à deux échelles". Cette dernière permet à la fois d'expliciter le modèle homogénéisé et de prouver la convergence de la solution non homogénéisée vers celle homogénéisée.