Une généralisation de la percolation de dernier passage dirigée : son étude sur le cylindre

La percolation de dernier passage dirigée est, classiquement, un modèle de croissance dans le quart de plan discret. Pour croitre de la case (i, j), il faut que les cases (i−1, j) et (i, j −1) soient présentes dans notre amas de croissance, puis attendre un temps al ́eatoire τ(i,j). Ce modèle est notemment intéressant pour modéliser le temps d’asséchement d’un terrain. Dans cet exposé, je présente une généralisation de la percolation de dernier passage dirigée dans le cas où le temps à attendre τ(i,j) dépend des temps d’arrivée des cases (i−1,j) et (i,j−1) dans l’amas et je présente ce modèle non pas comme un modèle de croissance dans le quart de plan, mais dans un cylindre de taille L. Dans le cylindre, il apparait ainsi une ligne de front pour notre amas. L’objet de cet exposé va être d’étudier deux propriétés asymptotiques (en temps) de cette ligne de front: sa vitesse et sa forme. Nous verrons que, dans des cas particuliers dits solubles ou intégrables, cette vitesse et cette forme ont une forme explicite en fonction des paramètres du modèle. Puis, j’expliquerai par quelle magie ces cas sont solubles, alors que les autres ne les sont a priori pas.