Polynomialité à la Göttsche et invariants tropicaux raffinés

Soit GW(d,g) le nombre de courbes algébriques de degré d et genre g dans CP^2 passant par 3d-1+g points. La conjecture de Göttsche stipule en particulier que ces nombres sont asymptotiquement donnés par un polynôme en d une fois fixé le nombre de points doubles des courbes énumérées (ie on fixe le cogenre au lieu du genre). Cette dernière hypothèse n'est pas gratuite, car il est bien connu que les nombres GW(d,g) grandissent de manière exponentielle en d lorsque g est fixé. En géométrie tropicale, il existe une version quantique, ou raffinée, des invariants de Gromov-Witten. Les nombres GW(d,g) sont alors remplacés par des polynômes de Laurent G(d,g)(q). Bien que les nombres GW(d,g) croissent exponentiellement à g fixé, on observe une résurgence de la polynomialité à la Göttsche dans les coefficients de leur pendants raffinés. Dans le cas des courbes rationnelles, je donnerai aussi des résultats de polynomialité des coefficients d'invariants descendants tropicaux raffinés, et les relierai à la géométrie énumérative réelle. Il s'agit d'un travail en commun avec Andrés Jaramillo Puentes.