Résonances au-dessus d’un puits dans une ı̂le

Travail récent avec M. Zerzeri. Soit \(V : \mathbf{R}^n → \mathbf{R}\) un potentiel assez analytique qui tend vers 0 à l’infini. Supposons que pour un \(E > 0\) on ait \(V^{−1} (] − \infty, E[) = U (E) \cup S(E)\), où \(U (E) \cap S(E) = \varnothing\), avec \(U (E)\) connexe borné (le puits) et \(S(E)\) connexe (la mer). La répartition des résonances pour \(−h^\Delta + V\) près \(E\) a été bien étudiée depuis plus de 30 ans. Si on augmente \(E\) alors un scénario naturel c’est que la décomposition persiste jusqu’à ce que les adhérances de \( U (E) \) et \( S(E) \) se touchent pour une énérgie critique \(E = E_0\). Sous des hypothèses naturelles, nous montrons que près de \(E_0\) la plupart des résonances sont proches de l’axe réel et obéissent à une loi de Weyl. En dimension 1 on a des résultats plus détaillés (Fujiie-Ramond 98).