Effets régularisants des semi-groupes engendrés par les opérateurs quadratiques accrétifs

Les opérateurs quadratiques accrétifs sont des opérateurs différentiels non-autoadjoints définis comme le quantifié de Weyl de formes quadratiques définies sur l’espace des phases, à valeurs complexes et de parties réelles positives. Dans cet exposé, on s’intéressera aux propriétés régularisantes en temps courts des semi-groupes engendrés par ces opérateurs sur L2(Rn). Deux méthodes seront présentées. La première se base sur l'étude du symbole de Weyl des opérateurs d’évolution engendrés par les opérateurs quadratiques accrétifs (donnée par la formule de Mehler). La seconde, issue d’un travail en commun avec Joackim Bernier, consiste à décrire la décomposition polaire de ces opérateurs d’évolution pour se ramener à étudier des opérateurs autoadjoints. La motivation principale de ce travail vient de l’étude de la contrôlabilité à zéro des EDP paraboliques associées aux opérateurs quadratiques accrétifs, posées sur tout l’espace, dont on parlera rapidement.