De Thalès à Perron-Frobenius

On va s'intéresser au théorème de Perron-Frobenius qui énonce notamment qu'une matrice positive fortement irréductible a une valeur propre dominante. Après quelques explications sur ce théorème et quelques exemples d'applications à de (nombreux !) domaines des mathématiques, on abordera une preuve due à Garrett Birkhoff. Cette preuve exhibe le vecteur propre de la valeur propre dominante comme point fixe d'une application contractante pour la métrique de Hilbert, que l'on introduira à l'occasion. L'étude de cette métrique fait appel à des propriétés de géométrie élémentaire. On parlera éventuellement plus généralement de métriques projectives et de la pertinence du choix de la métrique de Hilbert dans la preuve de Birkhoff. Enfin, on parlera éventuellement de la situation en dimension infinie.