La métastabilité en physique statistique

Considérons le processus de  Langevin suramorti $(X_t)_{t\ge 0}$ solution de l'équation différentielle stochastique  sur $\mathbb R^d$:
$$dX_t=-\nabla f(X_t)dt+\sqrt h dB_t.$$
C'est un processus  prototypique utilisé   pour modéliser l'évolution de systèmes statistiques.  La fonction $f:\mathbb R^d\to \mathbb R$ est le potentiel du système et $h>0$ sa température. Le processus de Langevin suramorti est métastable: il reste bloqué (piégé) dans des voisinages des minima locaux de $f$ sur de longues périodes de temps avant de s'en échapper. C'est une des raisons majeures qui rend inaccessibles l'observation de transitions entre les états macroscopiques du système ainsi que le calcul de quantités thermodynamiques par intégration directe des trajectoires de $(X_t)_{t\ge 0}$. De nombreux algorithmes ont été introduits ces dernières années  pour accélérer l'échantillonnage de dynamiques métastables (e.g.  les méthodes de Monte-Carlo cinétique et les \textit{accelerated dynamics algorithms} introduits par A.F. Voter et al. à Los Alamos). Ces algorithmes  reposent sur des estimées  précises de l'évènement de sortie d'un état macroscopique $\Omega\subset \mathbb R^d$ à basse température ($h\ll1$) et notamment sur le calcul asymptotique des taux de transition entre les états macroscopiques à l'aide de  la célèbre loi d'Eyring-Kramers (1935).
Dans cet exposé, je présenterai des résultats récents marquant des avancées significatives    sur l'étude précise de l'évènement de sortie d'un état macroscopique $\Omega$ pour le processus de Langevin suramorti quand $h\ll1$, ainsi que les nombreuses questions qui restent ouvertes.
Mots clés: physique statistique/moléculaire, loi d’Eyring-Kramers, métastabilité, régime d’une petite température, méthodes de Monte-Carlo cinétique.