Les équations d’ondes sous-elliptiques ne sont jamais observables

Dans cet exposé, nous expliquons un résultat que nous avons obtenu récemment et qui concerne les équations d’ondes avec un Laplacien sous-Riemannien (i.e. sous-elliptique). Etant donnée une variété \(M\) , un sous-ensemble mesurable \(\omega \subset M\), un temps \(T_0\) et un Laplacien sous-elliptique \(\Delta\) sur \(M\) , on dit que l’équation des ondes avec Laplacien \(\Delta\) est observable sur \(\omega\) en temps \(T_0\) si toute solution \(u\) de \(\partial_{tt}^2 u − \Delta u = 0\) avec une énergie initiale fixée satisfait \(\int_0^{T_0} \int_ω |u|^2\,dx \,dt \geq C\) pour une certaine constante \(C > 0\) indépendante de \(u\).

Il est connu depuis les travaux de Bardos-Lebeau-Rauch que l’observabilité de l’équation des ondes elliptique, i.e. avec un Laplacien Riemannien, en temps \(T_0\) est quasiment équivalente à la Condition de Contrôle Géométrique (GCC), qui stipule que tout rayon de l’optique géométrique rentre dans \(\omega\) avant l’instant \(T_0\). On montre que dans le cas sous-elliptique, dès lors que \(M\backslash\omega\) a un intérieur non-vide et \(\Delta\) est “sous-elliptique mais pas elliptique”, GCC n’est jamais vérifiée, ce qui implique que les équations des ondes sous-elliptiques ne sont jamais observables. La preuve consiste à construire des suites de solutions de l’équation des ondes dont l’énergie se concentre sur des géodésiques (pour la distance sur \(M\) associée à \(\Delta\)) qui passent un temps long dans \(M\backslash\omega\)